【河北成考】专升本复习资料数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)
一元函数积分学知识点睛(定积分) 知识结构: 必备基础知识 (1)大化小(把大曲边梯形分为n个小曲边梯形):,在 (2)常代变(用小矩形近似的代替每一个小曲边梯形):在每个小区间 (3)近似和(n个小矩形的面积之和近似的等于大曲边梯形的面积):作和式 (4)取极限(无限细分,得到大曲边梯形的面积):记 其中 ★定积分的几何意义:——理解即可 在区间[a,b]上,当f(x)³0时,积分 ★定积分的性质——红色部分要掌握 两点规定: 性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即 性质 3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即: 性质5如果在区间[a, b]上f(x)³0,则: 推论1如果在区间[a, b]上f(x)£g(x)则: 性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最小值,则 性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,则在积分区间[a, b]上至少存在一个点,使下式成立: ★积分上限函数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且设x为[a,b]上的一点. 我们把函数f(x)在部分区间[a,x]上的定积分 积分上限函数的导数 定理如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数F(x) ★牛顿--莱布尼茨公式 定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则 此公式称为牛顿--莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式. ★无穷区间上的广义积分的概念 在广义积分的定义式中,如果极限存在,则称此广义积分收敛; 否则称此广义积分发散. 主要考察知识点和典型例题: 考点一:变上限积分求导 变上限积分主要考查它的求导性质,考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导,主要的考查题型是:直接给一个变限积分,进行求导;定积分求导;含有变限积分的极限问题。 解根据变上限积分的求导公式,变上限积分求导就等于被积函数: 考点二:利用莱布尼兹公式直接计算 根据牛—莱公式 中任意插入若干个分点:
,
上任取一点
作函数值
与小区间长度
的乘积
,
如果不论对
怎样的分法,也不论在小区间
上点
怎样取法,只要当
时,和
总趋于确定的极限I,我们就称这个极限I为函数
在区间
上的定积分,记为
叫做被积函数,
叫做被积表达式,x叫做积分变量,
叫做积分区间.
在几何上表示由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积;当f(x)£0时,由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;
.
(a<b).
(a<b).
.
称为积分上限的函数.它是区间[a,b]上的函数,记为:F(x)
,或F(x)=
.
在[a,b]上具有导数,并且它的导数为:
,计算定积分就是计算不定积分,区别在于不定积分加常数C,定积分加积分区间
,定积分的计算方法和不定积分的计算方法没有什么区别,只需要注意积分限的变化。